Question

18．如图，直线l：y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若椭圆的焦距为2，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△OAB的面积；
（Ⅱ）若以A、B为直径的圆经过原点，且椭圆的长轴2a∈[$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$]时，求椭圆离心率取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2c=2，则$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{2}$．解得椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入列式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2c=2，则$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴椭圆得方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
将y=-x+1代入消去y得：5x²-6x-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y2）
∴$|AB|=\sqrt{1+（-1）^{2}}×\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+\frac{12}{5}}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
又原点到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故${S}_{△AOB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1
又x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$
y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1
由x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴$\frac{2{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}-\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}+1=0$整理得：a²+b²-2a²b2=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得：2${a}^{2}=1+\frac{1}{1-{e}^{2}}$∴${e}^{2}=1-\frac{1}{2{a}^{2}-1}∴2a∈[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}]$
∴${e}^{2}∈[\frac{2}{3}，\frac{4}{5}]$，符合条件a²+b²＞1
由此得：$e∈[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{5}}{5}]$

点评 本题主要考查了椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题属于中档题型，高考经常涉及．