Question

15．观察下列各式：
sin²45°+cos²75°+sin45°cos75°=$\frac{3}{4}$，
sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°=$\frac{3}{4}$，
sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$
（1）分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式；
（2）并对（1）的等式的正确性作出证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知三个等式，找出一般性规律，写出即可；
（2）由（1）中等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形得到结果与右边相等，得证．

解答 解：（1）根据题意得：sin²x+cos²（x+30°）+sinxcos（x+30°）=$\frac{3}{4}$；
（2）已知等式左边=sin²x+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）²+sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）
=sin²x+$\frac{3}{4}$cos²x+$\frac{1}{4}$sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$sin²x
=$\frac{3}{4}$cos²x+$\frac{3}{4}$sin²x=$\frac{3}{4}$=右边，
则sin²x+cos²（x+30°）+sinxcos（x+30°）=$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查了三角函数的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．