Question

10．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的两个焦点F₁，F₂，点M是椭圆上任意一点，过点F₂作∠F₁MF₂的外角平分线的垂线交F₁M的延长线于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）斜率为1的直线l交轨迹C于不同的两点A，B，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的纵截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用外角平分线作垂线的几何特征得出|PM|+|MF₁|=4，从而求得P的轨迹方程；
（2）直线l：y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆外，等价于x₁x₂+y₁y₂＜0，将直线与圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）由题意，|PM|=|MF₂|，|MF₁|+|MF₂|=4，
所以|PM|+|MF₁|=4，
所以|PF₁|=4，
所以点P的轨迹方程是（x+1）²+y²=16；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆外，等价于∠AOB＜$\frac{π}{2}$（A，O，B三点不共线），即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…
设直线l：y=x+t代入（x+1）²+y²=16，得2x²+（2+2t）x+t²-15=0，所以△=（2+2t）²-8（t²-15）＞0，即t＜1-$\sqrt{2}$或t＞1+$\sqrt{2}$…②
且x₁+x₂=-1-t，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-15}{2}$
于是y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-2t-15}{2}$
代入①式得，t²-t-15＜0，即$\frac{1-\sqrt{61}}{2}$＜t＜$\frac{1+\sqrt{61}}{2}$．
所以$\frac{1-\sqrt{61}}{2}$＜t＜$\frac{1+\sqrt{61}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的定义与几何性质的综合应用问题，也考查了一定的推理与计算能力，是综合题，也是较难的题目．