Question

2．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R恒有f（x）＞f′（x），a=3f（ln2），b=2f（ln3），则有（　　）

• A． a＞b
• B． a=b
• C． a＜b
• D． a，b大小关系不能判断

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．

解答 解：解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）•{e}^{x}-f（x）•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为对任意x∈R都有f（x）＞f′（x），
所以g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＞g（ln3），即$\frac{f（ln2）}{{e}^{ln2}}$＞$\frac{f（ln3）}{{e}^{ln3}}$，
所以$\frac{f（ln2）}{2}$＞$\frac{f（ln3）}{3}$，即3f（ln2）＞2f（ln3），
即a＞b，
故选；A

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．