Question

7．已知{a_n}，{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N^*，总有$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，则$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$=9．

Answer 1

分析 设{a_n}，{b_n}的公比分别为q，q′，利用$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，求出q=9，q′=3，可得$\frac{q}{q′}$=3，即可求得结论．

解答 解：设{a_n}，{b_n}的公比分别为q，q′，
∵$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，
∴n=1时，a₁=b₁．
n=2时，$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}q}{{b}_{1}+{b}_{1}q′}=\frac{5}{2}$．
n=3时，$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}}{{b}_{1}+{b}_{1}q′+{b}_{1}（q′）^{2}}=7$．
∴2q-5q′=3，7q′²+7q′-q²-q+6=0，
解得：q=9，q′=3，
∴$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}=\frac{{a}_{1}{q}^{2}}{{b}_{1}（q′）^{2}}=9$．
故答案为：9．

点评 本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，求出公比是关键，属中档题．