Question

10．记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\int_0^n$（2ax+b）dx（a，b常数）．若不等式a_n²+$\frac{{S_{n}^2}}{{n{^2}}}$≥ma₁²对任意的数列{a_n}及任意正整数n都成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• B． $[{\frac{1}{5}，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{5}，+∞}）$
• D． $（-∞，\frac{1}{5}]$

Answer 1

分析 令$\frac{1}{2}$（n-1）d=t，a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=（a₁+2t）²+（a₁+t）²=2a₁²+6ta₁+5t²，利用二次函数得出，当t=-$\frac{3{a}_{1}}{5}$时，取到最小值，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\int_0^n$（2ax+b）dx（a，b常数）．
∴S_n=an²+bn，
当n=1时，a₁=a+b，a₂=3a+b，
知识当n≥2时，a_n=2an+b-a，
综上：a_n=2na+b-a，
a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=a_n²+$\frac{1}{{n}^{2}}$[na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d]²
=a_n²+[a₁+$\frac{1}{2}$（n-1）d]²，
令$\frac{1}{2}$（n-1）d=t，
a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=（a₁+2t）²+（a₁+t）²
=2a₁²+6ta₁+5t²
=5（t+$\frac{3{a}_{1}}{5}$）²+2a₁²-$\frac{9{{a}_{1}}^{2}}{5}$，
当t=-$\frac{3{a}_{1}}{5}$时，取到最小值
即$\frac{1}{2}$（n-1）d=$\frac{3{a}_{1}}{5}$，即n=$\frac{6{a}_{1}}{5d}$+1，
∵不等式a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$$≥m{{a}_{1}}^{2}$对任意等差数列{a_n}及任意正整数n都成立，
∴m≤$\frac{1}{5}$．
故选：D

点评 本题考查了数列与不等式的综合应用，其中用到换元法求得二次函数的最值，应属于考查计算能力的中档题目