Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3cos$\frac{x}{3}$，sin$\frac{x}{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{6}$，-3sin$\frac{x}{6}$），函数f（x）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$．
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）在给定的坐标系内，画出函数f（x）在[0，4π]内的图象．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用即可化简函数解析式；
（2）根据函数解析式及五点法即可作出函数y=Asin（ωx+φ）的图象．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=$\frac{1}{2}×3cos\frac{x}{3}cos\frac{x}{6}$-$\frac{1}{2}×3×sin\frac{x}{3}×sin\frac{x}{6}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=$\frac{3}{2}$cos（$\frac{x}{3}$+$\frac{x}{6}$）+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）
（2）在给定的坐标系内，画出函数f（x）在[0，4π]内的图象如下：

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基本知识的考查．