Question

14．设n∈N^*，f（n）=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$，试比较f（n）与$\sqrt{n+1}$的大小．

Answer 1

分析 当n=1，2时，f（n）＜$\sqrt{n+1}$；当n≥3时，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：当n=1时，f（1）=1＜$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
当n=2时，f（2）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{3}$，
当n≥3时，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=3时，f（3）=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞$1+\frac{1.4}{2}+\frac{1.7}{3}$＞2=$\sqrt{3+1}$，不等式成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*，k≥3）时，不等式成立，即f（k）＞$\sqrt{k+1}$．
则当n=k+1时，f（k+1）=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1+1}$，
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：当n≥3时，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．
因此：当n=1，2时，f（n）＜$\sqrt{n+1}$；
当n≥3时，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．

点评 本题考查了分类讨论、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．