Question

9．已知函数f（x）=x²+bx+c，集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f（f（x）），x∈R}．
（1）证明：A⊆B；
（2）当A={-1，3}时，用列举法求集合B；
（3）当A为单元集时，求证：A=B．

Answer 1

分析 （1）任取m∈A，有m=f（m），f（m）=f（f（m）），从而m=f（f（m）），问题得以证明；
（2）根据根与系数的关系，求出b，c的值，再代入化简，解得即可；
（3）当A为单元集，意味着X=x²+bx+c只有唯一解，设为X₁，利用反证法，假设A=B成立，那么B={X₁}，经过推理得到假设成立．

解答 解（1）∵集合A={x|x=f（x），x∈R}，
∴任取m∈A，有m=f（m），
∴f（m）=f（f（m）），
从而m=f（f（m）），
因此m∈B，A⊆B．
（2）∵A={-1，3}，将x=-1和3带入x=x²+ax+b中，得
a-1=-（-1+3），即a=-1，
b=（-1）×3=-3；
故f（x）=x²-x-3
从而（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x
移项（x²-x-3）²=x²
故x²-x-3=x或 x²-x-3=-x
x=-1，3或 x=$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$
故B={-1，3，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$}
（3）当A为单元集，意味着X=x²+bx+c只有唯一解，设为X₁，
即X₁=X₁²+bX₁+c，
B集合中，X=（x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c，
用假设法，假设A=B成立，那么B={X₁}，
将X₁代入X=（x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c，
等式左边是X₁，右边是（X₁²+bX₁+c）²+a（X₁²+bX₁+c）+b，
因为X₁=X₁²+bX₁+c，
所以右式可简化为X₁=X₁²+bX₁+c，
于是根据X₁=X₁²+bX₁+c，
左右相等，假设成立，
所以A=B．

点评 本题考查了元素和集合之间的包含关系，以及高次方程的解法，以及反证法，属于中档题．