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    20．已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　）
    A．15πB．$\frac{15π}{4}$C．$\sqrt{15}$ πD．6π

    分析 设球心为O，OF=x，则CF=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得R2=x2+（$\sqrt{3}$）2=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）2，求出x，可得R，即可求出球的表面积．

    解答 解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AC的中点，OF=x，则CF=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
    R2=x2+（$\sqrt{3}$）2=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）2+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）2，
    ∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
    ∴R2=$\frac{15}{4}$
    ∴球的表面积为15π．
    故选：A．

    点评 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．

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    8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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    15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，点O为坐标原点，椭圆C与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A在第四象限），且$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}$．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）定义：以原点O为圆心，$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$为半径的圆称为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O．
    证明：|PQ|为定值．

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    5．已知椭圆Q：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶点P（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，O为坐标原点．
    （1）求椭圆O的方程；
    （2）设A、B、M是椭圆上的三点，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{OB}$，点N为线段AB的中点，C、D两点的坐标分别为（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0）、（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），求证：|NC|+|ND|=2$\sqrt{2}$．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    12．已知函数f（x）=ax3+2x-a，
    （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
    （Ⅱ）若a=n且n∈N*，设xn是函数fn（x）=nx3+2x-n的零点．
    （i）证明：n≥2时存在唯一xn且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$；
    （i i）若bn=（1-xn）（1-xn+1），记Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．

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    9．已知函数f（x）=x2+bx+c，集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f（f（x）），x∈R}．
    （1）证明：A⊆B；
    （2）当A={-1，3}时，用列举法求集合B；
    （3）当A为单元集时，求证：A=B．

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    17．下列算法语句的运行结果为（　　）
    N=1
    S=0
    DO
    S=S+N
    N=N+1
    Loop  While  S＜=10；
    输出N-1．
    A．5B．4C．11D．6

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