Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，$a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，$a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，
故椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．                                           
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因为M（0，1），F（1，0），故k_PQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△＞0，得m²＜3，且${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{3}$．
由题意应有$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{FQ}=0$，又$\overrightarrow{MP}=（{x_1}，{y_1}-1）\;，\overrightarrow{\;FQ}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
故x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0，得x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0．
即$2{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）（m-1）+{m^2}-m=0$．
整理得$2×\frac{{2{m^2}-2}}{3}-\frac{4}{3}m（m-1）+{m^2}-m=0$．
解得$m=-\frac{4}{3}$或m=1．
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．
当$m=-\frac{4}{3}$时，所求直线l存在，且直线l的方程为$y=x-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．