Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以椭圆上任一点与左，右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4（$\sqrt{2}$+1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l₁过原点O，直线l₂与直线l₁相交于点Q，|$\overrightarrow{OQ}$|=1，且l₂⊥l₁，直线l₂与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l₂，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1成立．若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（$\sqrt{2}$+1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，根据$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1，|$\overrightarrow{OQ}$|=1进行转化，将直线l₂的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（$\sqrt{2}$+1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
∴a=2$\sqrt{2}$c=2，b=2．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．   …（4分）
（Ⅱ）假设存在直线l₂，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1成立．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），Q（m，n），且m²+n²=1，
则直线l₁的方程为nx-my=0，直线l₂的方程为mx+ny=1．
（1）当n=0时，此时直线l₂的方程为x=±1，可得A（1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
代入$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1，不符题意；  …（5分）
（2）当n≠0时，将直线l₂的方程为mx+ny=1与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$联立，
又m²+n²=1，得 （1+m²）x²-4mx+2-8n²=0．    …（6分）
∴x₁+x₂=$\frac{4m}{1+{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2-8{n}^{2}}{1+{m}^{2}}$．       …（7分）
又∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂+2=m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）．
又 mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1
∴m（x₁+x₂）+n（y₁+y₂）=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．    …（9分）
∴n²x₁x₂+1+m²x₁x₂-m（x₁+x₂）=0．
∴x₁x₂+1-m（x₁+x₂）=0．   …（11分）
∴-5n²=0．
∴n=0这与n≠0矛盾．   …（12分）
综上可知，不存在这样的直线l₂，使$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BQ}$=-1成立．   …（13分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．