Question

6．已知点P（x，y）的坐标满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤1}\\{x+4y≤4}\\{x+y≥a}\end{array}\right.$，当z=-2x+y取得最大值为1时，那么x²+y²的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 画出可行域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤1}\\{x+4y≤4}\\{x+y≥a}\end{array}\right.$，当a≤1时，其可行域为△ABC，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{x+4y=4}\end{array}\right.$，解得M，当z=-2x+y取得最大值为1时，把Mz坐标代入解得a=1．那么x²+y²的最小值为原点O到直线x+y=1的距离的平方，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：画出可行域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤1}\\{x+4y≤4}\\{x+y≥a}\end{array}\right.$，
当a≤1时，其可行域为△ABC，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{x+4y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a-4}{3}}\\{y=\frac{4-a}{3}}\end{array}\right.$，
当z=-2x+y取得最大值为1时，
可得1=$-2×\frac{4a-4}{3}$+$\frac{4-a}{3}$，
解得a=1．
那么x²+y²的最小值为原点O到直线x+y=1的距离的平方，
即x²+y²=$（\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
当a＞1时，不满足条件，舍去．
故选：B．

点评 本题考查了线性规划的有关知识、直线的交点、点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想方法、数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．