Question

18．函数y=tan（x-$\frac{π}{3}$）+tanx+tan（x+$\frac{π}{3}$）的最小正周期是（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． π
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根据函数的周期性定义进行求解即可．

解答 解：设f（x）=tan（x-$\frac{π}{3}$）+tanx+tan（x+$\frac{π}{3}$），
则f（x+$\frac{π}{3}$）=tan（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）+tan（x+$\frac{π}{3}$）+tan（x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=tanx+tan（x+$\frac{π}{3}$）+tan（x+$\frac{2π}{3}$）
=tanx+tan（x+$\frac{π}{3}$）+tan（x+$\frac{2π}{3}$-π）=tanx+tan（x+$\frac{π}{3}$）+tan（x-$\frac{π}{3}$）=f（x），
即x=$\frac{π}{3}$是函数的一个周期．
f（x+$\frac{π}{6}$）=tan（x+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）+tan（x+$\frac{π}{6}$）+tan（x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）
=tan（x-$\frac{π}{6}$）+tan（x+$\frac{π}{6}$）+tan（x+$\frac{π}{2}$）≠tanx+tan（x+$\frac{π}{3}$）+tan（x-$\frac{π}{3}$）=f（x），
即f（x+$\frac{π}{6}$）=f（x）不恒成立，即x=$\frac{π}{6}$不是函数的周期，
故选：C

点评 本题主要考查函数周期的计算，由于直接求解周期难度较大，利用周期的定义结合选择项进行推导是解决本题的关键．