Question

10．求下列函数的单调区间，并求[1，e]上的最值．
（1）f（x）=lnx-ax；
（2）f（x）=ax²-2lnx³；
（3）f（x）=e^x-ax-1，求单调区间．

Answer 1

分析 （1）．（2），（3）的步骤一样，思想方法一样，先求导，再分类讨论，得到函数的单调性和函数的最值．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=1-ae，f（x）_min=f（1）=-a，
当a＞0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$，
当f′（x）＞0，即0＜x＜$\frac{1}{a}$时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＞$\frac{1}{a}$时，函数单调递减，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，
当x=$\frac{1}{a}$时，函数有极大值，即极大值为f（$\frac{1}{a}$）=-1-lna
①当$\frac{1}{a}$≤1时，即a≥1时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=1-ae，f（x）_max=f（1）=-a，
②当$\frac{1}{a}$≥e时，即0＜a≤$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=1-ae，f（x）_min=f（1）=-a，
③1＜$\frac{1}{a}$＜e时，即$\frac{1}{e}$＜a＜1时，
函数f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-1-lna，
f（1）=-a，f（e）=1-ae，
当$\frac{1}{e-1}$＜a＜1，f（1）＞f（e），
故f（x）_min=f（e）=1-ae，
当$\frac{1}{e}$＜a≤$\frac{1}{e-1}$时，f（1）≤f（e），
故f（x）_min=f（1）=-a；
（2）f（x）=ax²-2lnx³=ax²-6lnx，
∴f′（x）=2ax-$\frac{6}{x}$=$\frac{2（a{x}^{2}-3）}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=ae²-6，f（x）_max=f（1）=a，
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3a}}{a}$，
当f′（x）＜0，即0＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{a}$时，函数单调递减，
当f′（x）＞0，即x＞$\frac{\sqrt{3a}}{a}$时，函数单调递减，
∴函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{3a}}{a}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{3a}}{a}$，+∞）上单调递增，
当x=$\frac{\sqrt{3a}}{a}$时时，函数有极小值，即极小值为f（$\frac{\sqrt{3a}}{a}$）=$\frac{{a}^{2}}{3}$-3ln$\frac{a}{3}$，
①当$\frac{\sqrt{3a}}{a}$≤1时，即a≥3时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=ae²-6，f（x）_min=f（1）=a，
②当$\frac{\sqrt{3a}}{a}$≥e时，即0＜a≤$\frac{3}{{e}^{2}}$时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=a，f（x）_min=f（e）=ae²-6，
③1＜$\frac{\sqrt{3a}}{a}$＜e时，即$\frac{3}{{e}^{2}}$＜a＜3时，
函数f（x）在[1，$\frac{\sqrt{3a}}{a}$）上单调递减，在（$\frac{\sqrt{3a}}{a}$，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{\sqrt{3a}}{a}$）=$\frac{{a}^{2}}{3}$-3ln$\frac{a}{3}$，
f（1）=a，f（e）=ae²-6，
当$\frac{6}{{e}^{2}-1}$＜a＜3，f（1）＞f（e），
故f（x）_max=f（1）=a，
当$\frac{3}{{e}^{2}}$＜a＜$\frac{6}{{e}^{2}-1}$＜a＜3，f（1）＜f（e），
故f（x）_max=f（e）=ae²-6；
（3）f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=e^e-ae-1，f（x）_min=f（1）=e-a-1，
当a＞0时，f′（x）=e^x-a，
令f′（x）=0，解得x=lna，
当f′（x）＜0，即0＜x＜lna时，函数单调递减，
当f′（x）＞0，即x＞lna时，函数单调递增，
∴函数f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当x=lna时，函数有极小值，即极小值为f（lna）=a-1-alna
①当lna≤1时，即0＜a≤e时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=e^e-ae-1，f（x）_min=f（1）=e-a-1，
②当lna≥e时，即a≥e^e，函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=e-a-1，f（x）_min=f（e）=e^e-ae-1，
③1＜lna＜e时，即e＜a＜e^e时，
函数f（x）在[1，lna）上单调递减，在（lna，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（lna）=a-1-alna，
f（1）=e-a-1，f（e）=e^e-ae-1，
当$\frac{{e}^{e}-e}{e-1}$＜a＜e^e，f（1）＞f（e），
故f（x）_max=f（1）=e-a-1，
当e＜a＜$\frac{{e}^{e}-e}{e-1}$，f（1）＜f（e），
故f（x）_max=f（e）=e^e-ae-1．

点评 本题考查了导数和函数的单调性质和最值的关系，分类讨论是本题的关键，运算量大，属于中档题．