Question

1．函数f（x）=|x-a|-|x-2a|（a＞0），若对?x∈R，都有f（2x）-1≤f（x），则实数a的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得，|2x-a|+|x-2a|≤|x-a|+|2x-2a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：$\frac{a}{2}$，a，a，2a，分类讨论求得实数a的最大值．

解答 解：f（2x）-1≤f（x），（a＞0）恒成立，即|2x-a|-|2x-2a|-1≤|x-a|-|x-2a|恒成立，
即|2x-a|+|x-2a|≤3|x-a|+1恒成立．
此不等式中，绝对值的“根”共有4个：$\frac{a}{2}$，a，a，2a，
当x＜$\frac{a}{2}$时，不等式即 a-2x+2a-x≤3a-3x+1，即0≤1．
当$\frac{a}{2}$≤x＜a时，不等式即 2x-a+2a-x≤3a-3x+1，即4x≤2a+1，故有4a≤2a+1，即a$≤\frac{1}{2}$．
当a≤x＜2a时，不等式即 2x-a+2a-x≤3x-3a+1，即 4a≤2x+1，故4a≤4a+1，可得0≤1．成立．
当x≥2a时，不等式即 2x-a+x-2a≤3x-3a+1，即0≤1．
综上可得，a≤$\frac{1}{2}$，故a的最大值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．