Question

12．已知矩形ABCD中，AD=4，AB=6，点M在AD上，且MD=1，沿着MB将△AMB折起．

（1）当点A在平面BCDM上的投影在MB上时，求直线AC与平面BCDM所成角的正弦值；
（2）当点A在平面BCDM上的投影在DC上时，求平面ABC与平面AMD所成二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）当点A在平面BCDM上的投影在MB上时，求直线AC与平面BCDM所成角的正弦值；
（2）当点A在平面BCDM上的投影在DC上时，求平面ABC与平面AMD所成二面角的正切值．

解答 解：（1）当点A在平面BCDM上的投影在MB上时，
即AH⊥面BCDM，
则AH⊥MB，
则∠ACH是直线AC与平面BCDM所成的角，
则矩形中，过H分别作HF⊥AB，HG⊥BG，
∵AD=4，AB=6，且MD=1，
∴AM=3，BM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{B}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
则AH=$\frac{AM•AB}{MB}$=$\frac{3×6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
AH²=AF•AB，
即AF=$\frac{A{H}^{2}}{AB}$=$\frac{\frac{36}{5}}{6}$=$\frac{6}{5}$，HF=$\sqrt{A{H}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
则CG=CB-BG=6-$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$，HG=BF=AB-AF=6-$\frac{6}{5}$=$\frac{24}{5}$，
则CH=$\sqrt{C{G}^{2}+G{H}^{2}}$=6，
AC=$\sqrt{C{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{36+\frac{36}{5}}$=$\frac{6\sqrt{30}}{5}$，
则sin∠ACH=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{\frac{6}{\sqrt{5}}}{\frac{6\sqrt{30}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即直线AC与平面BCDM所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（2）当点A在平面BCDM上的投影在DC上时，
∵MD∥BC，
∴过A点作BC的平行线，
∵点A在平面BCDM上的投影在DC上，BC⊥CD，
∴BC⊥面ACD，
∴BC⊥AD，BC⊥AC，
∴可以得到∠DAC即为所求的二面角．
∵MD=1，∴AM=3，
折叠后AD=$\sqrt{A{M}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{9-1}=\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
在直角三角形ACB中，BC=4，AB=6，
则AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{36-16}=\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
由余弦定理得cos∠DAC=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{8+20-36}{2×2\sqrt{2}×2\sqrt{5}}$=$-\frac{1}{\sqrt{10}}$，
sin∠DAC=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
则平面ABC与平面AMD所成二面角的正切值tan∠DAC=$\frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}$=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面所成的角以及二面角的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．