Question

7．在复平面上，点P（x，y）所对应的复数p=x+yi（i为虚数单位），z=a+bi（a、b∈R）是某给定复数，复数q=p•z所对应的点为Q（x′，y′），我们称点P经过变换z成为了点Q，记作Q=z（P）．
（1）给出z=1+2i，且z（P）=Q（8，1），求点P的坐标；
（2）给出z=3+4i，若P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上运动，Q=z（P），求|OQ|的取值范围；
（3）已知P在双曲线x²-y²=1上运动，试问是否存在z，使得Q=z（P）在双曲线y=$\frac{1}{x}$上运动？若存在，请求出z；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，有8+i=（1+2i）•p，从而p=$\frac{（8+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-15i}{5}=2-3i$，求得P点坐标
（2））由P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上运动，则|p|=|OP|∈[2，3]又根据|z|=5求得|OQ|．
（3）假设存在，分别求出对应的点，得出两者矛盾，即不存在．

解答 解：（1）根据题意，有8+i=（1+2i）•p
∴p=$\frac{（8+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-15i}{5}=2-3i$，∴点P的坐标为（2，-3）
（2）∵P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上运动，∴|p|=|OP|∈[2，3]
又|z|=5，∴|OQ|=|q|=|p$•\\;p$z|∈[10，15]
（3）不存在．
假设存在z=a+bi（a，b∈R），使得Q=z（P）在曲线$y=\frac{1}{x}$上运动．
在直线y=3x+1上取点P1（0，1），所以q₁=z•p₁=-b+ai，对应的Q1（-b，a）在曲线$y=\frac{1}{x}$上，所以-b=$\frac{1}{a}$，即ab=-1．
再取点P₂（$-\frac{1}{3}，0$），所以${q}_{1}=z•{p}_{1}=-\frac{a}{3}+（-\frac{b}{3}）i$，对应的点Q1（$-\frac{a}{3}，-\frac{b}{3}$）在曲线$y=\frac{1}{x}$上，所以$-\frac{b}{3}=-\frac{a}{3}$
即ab=9．
二者矛盾，所以不存在满足条件的z．

点评 本题主要考查复平面内的新定义题，借助圆锥曲线来考查综合问题，属于中档题，考查考生借助新定义解题的能力．