Question

17．在扇形AOB中，OA⊥OB，以OA，OB为直径的半圆交于点C，点P在如图所示图形的阴影区域中（含边界），若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则2x+y的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． [1，$\sqrt{5}$]
• D． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由向量相等得到P的坐标，写出P的坐标所满足的关系式，由线性规划知识求得答案．

解答 解：以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则可设A（1，0），B（0，1），
∴$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（0，y）=（x，y），
则x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{0≤y≤1}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}≥\frac{1}{4}}\\{{x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}≥\frac{1}{4}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤1}\end{array}\right.$，
作出可行域如图，
令z=2x+y，由$\frac{|-z|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=1$，的z=$±\sqrt{5}$，
∵x≥0，y≥0，∴$z=\sqrt{5}$；
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过点B（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1．
故选：C．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．