Question

5．（1）已知0＜x＜2，求函数y=x（8-3x）的最大值；
（2）已知x＞1，求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）变形函数y=x（8-3x）=$\frac{1}{3}×3x（8-3x）$，利用基本不等式的性质即可得出；
（2）变形函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$=$\frac{1}{2}\frac{（x-1）^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{2}[（x-1）+\frac{1}{x-1}]$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵0＜x＜2，∴函数y=x（8-3x）=$\frac{1}{3}×3x（8-3x）$≤$\frac{1}{3}（\frac{3x+8-3x}{2}）^{2}$=$\frac{16}{3}$，
当且仅当x=$\frac{4}{3}$时取等号．∴函数y=x（8-3x）的最大值为$\frac{16}{3}$．
（2）∵x＞1，∴函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$=$\frac{1}{2}\frac{（x-1）^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{2}[（x-1）+\frac{1}{x-1}]$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{（x-1）×\frac{1}{x-1}}$=1，
当且仅当x=2时取等号．
∴函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$的最小值为1．

点评 本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．