Question

14．若函数y=|x-a|lnx在[2，3]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据a的值，分类讨论，先求导，再分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：∵y=|x-a|lnx，x＞0
当x＞a时，即a＜2时，
∴y=（x-a）lnx，
∴y'=lnx+$\frac{x-a}{x}$≤0，在[2，3]恒成立，
∴a≥xlnx+x在[2，3]恒成立，
令f（x）=xlnx+x，
∴f'（x）=lnx+2＞0在[2，3]恒成立，
∴f（x）在[2，3]上单调递增
∴f（x）_max=f（3）=3ln3+3
∴a≥3+3ln3，
∴无解
当x≤a时，
即a≥3，
∴y=（a-x）lnx，
∴y'=-lnx-$\frac{x-a}{x}$≤0，在[2，3]恒成立，
∴a≤xlnx+x在[2，3]恒成立，
令g（x）=xlnx+x，
∴g'（x）=lnx+2＞0在[2，3]恒成立，
∴g（x）在[2，3]上单调递增
∴g（x）_min=f（2）=2ln2+2
∴a≤2ln2+2，
∴3≤a≤2ln2+2，
终上所述：a的取值范围为[3，2ln2+2]．

点评 本题考查了参数的取值范围问题以及分类讨论等问题，分离参数，构造函数，求最值是关键，属于中档题．