Question

8．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0$）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁，A₂是椭圆E的长轴的两个端点（A₂位于A₁右侧），B是椭圆在y轴正半轴上的顶点，点F是椭圆E的右焦点，点M是x轴上位于A₂右侧的一点，且$\frac{1}{|FM|}$是$\frac{1}{|{A}_{1}M|}$与$\frac{1}{|{A}_{2}M|}$的等差中项，|FM|=1．
（1）求椭圆E的方程以及点M的坐标；
（2）是否存在经过点（0，$\sqrt{2}$）且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q，使得向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{{A}_{2}B}$共线？若存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点F（c，0），M（x，0），x＞a，由已知得$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x-a}$=$\frac{2}{x-c}$，从而x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，再由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，能求出椭圆方程和M点坐标．
（2）由题意，直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$，联立椭圆方程，得（$\frac{1}{2}$+k²）x²+2$\sqrt{2}$kx+1，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件推导出不存在符合题意的直线l．

解答 解：（1）设点F（c，0），M（x，0），x＞a，
由$\frac{1}{|FM|}$是$\frac{1}{|{A}_{1}M|}$与$\frac{1}{|{A}_{2}M|}$的等差中项，得$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x-a}$=$\frac{2}{x-c}$，
解得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，M点坐标为M（2，0）．
（2）由题意，直线l的方程为y=kx+$\sqrt{2}$，
联立椭圆方程，得（$\frac{1}{2}$+k²）x²+2$\sqrt{2}$kx+1，
∵直线l与椭圆E交于不同的两点P，Q，
∴△=4k²-2＞0，∴k²＞$\frac{1}{2}$，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=$\frac{2\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$（-2k，1），
由题知$\overrightarrow{{A}_{2}B}$=（-$\sqrt{2}$，1），
要使向量$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$与$\overrightarrow{{A}_{2}B}$共线，
则2k=$\sqrt{2}$，即k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，但不满足k²＞$\frac{1}{2}$，
故不存在符合题意的直线l．…（14分）

点评 本题考查椭圆E的方程以及点M的坐标的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查向量知识的运用，属于中档题．