Question

14．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\\{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\end{array}\right.$，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-∞，0）
• C． （0，2）
• D． （-2，0）

Answer 1

分析 根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a-x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围

解答 解：当x＞0时，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4此时函数f（x）单调递减，
∵不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立
∴x+a＜2a-x恒成立，
即a＞2x恒成立，
∵x∈[a，a+1]，
∴（2x）_max=2（a+1）=2a+2，
即a＞2a+2，
解得a＜-2，
当x≤0时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1此时函数f（x）单调递减，
∵不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立
∴x+a＜2a-x恒成立，
即a＞2x恒成立，
∵x∈[a，a+1]，
∴（2x）_max=2（a+1）=2a+2，
即a＞2a+2，
解得a＜-2，
综上所述：即实数a的取值范围是（-∞，-2）．
故选：A

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．