Question

2．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求AC的长和$\frac{BC}{CD}$的值．

Answer 1

分析 过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，在Rt△AEF中，可将各边用含BC和CD的代数式表达出来，根据∠A=60°列出三角函数式代入求解．

解答 解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，
设BC=a，CD=b，
在Rt△BCE中，∵AD∥CE，
∴∠CEB=∠A=60°，
可得BE=cot∠CEB×BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
故AE=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵四边形CDFE为矩形，
∴DF=CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴AF=5-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△AEF中，
∵cos∠A=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{5-\frac{2\sqrt{3}}{3}a}{4-\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{16+12}$=2$\sqrt{7}$．
sin∠A=$\frac{b}{4-\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=$\sqrt{3}$
∵BC=a=2$\sqrt{3}$，CD=b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BC}{CD}$=2．

点评 本题通过作辅助线可在直角三角形内进行求解，综合应用了解直角三角形、直角三角形性质，考查了逻辑推理能力和运算能力．