Question

12．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1，且a=1-2b．
（1）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[0，3]内的最值；
（3）当a=3时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）在区间[2，+∞）内为增函数，即f′（x）≥0，分离参数，根据二次函数的性质即可求出a的范围；
（2）当a=1时，求出b=0，得到h（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-1，x∈[0，3]，根据导数函数的最值的关系即可求出答案；
（3）当a=3时，求出b=-1，得到h（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x-x²-3，根据导数函数的极值的关系即可求出答案．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）在区间[2，+∞）内为增函数，
∴f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即f′（x）=x²-a≥0，
即a≤x²在[2，+∞）上恒成立，
∴a≤4，
∴实数a的取值范围为（-∞，4]；
（2）∵当a=1时，a=1-2b，
∴b=0，
∴h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-1，x∈[0，3]，
∴h′（x）=x²-1，
令h′（x）=0，解得x=1，
当h′（x）＞0时，即1＜x≤3时，函数h（x）单调递增，
当h′（x）＜0时，即0≤x＜1时，函数h（x）单调递减，
当x=1时，函数有极小值，也是最小值，h（x）_min=h（1）=-$\frac{5}{3}$，
h（0）=-1，h（3）=5，
∴h（x）_max=h（3）=5；
（3）当a=3时，a=1-2b，
∴b=-1，
∴h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{3}$x³-3x-x²-3，
∴h′（x）=x²-2x-3，
令h′（x）=0，解得x=-1，或x=3，
当h′（x）＞0时，即x＜-1，或x＞3时，函数h（x）单调递增，
当h′（x）＜0时，即-1＜x＜3时，函数h（x）单调递减，
∴当x=-1时函数h（x）有极大值，极大值为h（-1）=-$\frac{4}{3}$，
当x=3时，函数有极小值，极小值为h（3）=-12．

点评 本题考查了导数的函数的单调性，极值，最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．