Question

7．已知动圆Q过定点F（0，-1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．
（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；
（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S₁为△ABC的面积，S₂为△ODE的面积，令Z=S₁S₂，试求Z的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的定义可得动点Q的轨迹M的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x²=-4y，
依题意可设椭圆N的标准方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
显然有$c=1，a=2∴b=\sqrt{3}$，
∴椭圆N的标准方程为$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$；
（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，
不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1①
联立椭圆N的标准方程$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$有（3k²+4）x²-6kx-9=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则有$|{BC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{12\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+4}}=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{3{k^2}+4}}$，
又A（0，2）到直线m的距离${d_1}=\frac{3}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_1}=\frac{1}{2}|{BC}|{d_1}=\frac{{18\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+4}}$，
再将①式联立抛物线方程x²=-4y有x²+4kx-4=0，
同理易得$|{DE}|=4（1+{k^2}），{d_2}=\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_2}=2\sqrt{1+{k^2}}$，
∴$Z={S_1}{S_2}=\frac{{36（1+{k^2}）}}{{3{k^2}+4}}=12（1-\frac{1}{{3{k^2}+4}}）≥12（1-\frac{1}{4}）=9$，
∴当k=0时，Z_min=9．

点评 本题考查直线和圆相切的条件，同时考查抛物线的定义和椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．