Question

9．在直角坐标系中，已知点F（0，1），直线l：y=-1，点H是直线l上任意一点，过点H垂直于l的直线交线段FH的中垂线于点M．记点M的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）若A，B为曲线Γ上异于原点的任意两点，过A，B分别作曲线T的两条切线l₁、l₂，l₁、l₂相交于点P，且与x轴分别交于E、F，设△PEF与△OAB的面积分别为S₁、S₂．试问：是否存在实数λ使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意|MF|=|MH|，所以M点的轨迹为以点F（0，1）为焦点，直线l：y=-1为准线的抛物线，即可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+b，与椭圆方程联立，求出E，F的坐标，计算S₁、S₂，即可求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意|MF|=|MH|，
所以M点的轨迹为以点F（0，1）为焦点，直线l：y=-1为准线的抛物线，
所以曲线Γ的方程为x²=4y；…（4分）
（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时显然不合题意；
设直线AB的方程为y=kx+b，与椭圆方程联立消去y得x²-4kx-4b=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，…（6分）
曲线Γ的方程为y=$\frac{1}{4}$x²，y′=$\frac{1}{2}$x，
切线PA：y=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）+y₁，切线PB：y=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂）+y₂，…（8分）
P（2k，-2b），E（x₁-$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}}$，0），F（x₂-$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}}$，0）（10分）
线段|EF|=|x₂-x₁+$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}}$-$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}}$|，化简得|EF|=$\frac{1}{2}$|x₂-x₁|，
所以S₁=$\frac{1}{2}$|EF|y_P=$\frac{1}{4}$b|x₂-x₁|，S₂=$\frac{1}{2}$b|x₂-x₁|，…（13分）
所以存在λ=$\frac{1}{2}$，使得S₁=$\frac{1}{2}$S₂．…（14分）

点评 本题考查抛物线的定义域方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．