Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲线y=2x²-2上．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）记b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，试求数列{b_n}的前n项和T_n ．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和求和的关系，结合等比数列的定义即可得证；
（2）求出b_n，运用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n ．

解答 （1）证明：由于点（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲线y=2x²-2上．
则S_n=2a_n-2，
n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2，
可得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n，
即为a_n=2a_n-1，
可得数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）解：b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则前n项和T_n =1$•\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n =1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+$\frac{1}{2}$•$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n =$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+2•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+2•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-$\frac{1}{2}$•$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
化简可得T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查等比数列的定义和通项及求和公式的运用，运用错位相减法求数列的和的方法，考查运算能力，属于中档题．