Question

2．已知平面上的动点M（x，y）到两定点F₁（-4，0），F₂（-1，0）的距离之比为2．
（Ⅰ）试求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（0，2），求∠F₁AF₂的平分线所在的直线AB的方程（其中点B是直线AB与x轴的交点）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若点C是轨迹M上异于A，B的任意一点，试求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意|MF₁|=2|MF₂|，由于两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；
（II）设点B（t，0）（显然t＜0），则点B到直线AF₁，AF₂的距离相等，求得直线方程和点到直线的距离，解方程即可得到所求直线方程；
（III）显然A，B两点均在圆x²+y²=4上，当过C的直线和直线AB平行，且为圆的切线，则C到直线AB的距离d最大．求得O到直线AB的距离，即可得到d的最大值，进而得到△ABC的面积最大值．

解答 解：（I）由题意|MF₁|=2|MF₂|，可得$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
两边平方化简可得，x²+y²=4，
即动点M的轨迹方程为圆x²+y²=4；
（II）设点B（t，0）（显然t＜0），
则点B到直线AF₁，AF₂的距离相等，
直线AF₁，AF₂的方程分别为y=$\frac{1}{2}$x+2，y=2x+2，
$\frac{|t+4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2t+2|}{\sqrt{5}}$，
解得t=-2，
故直线AB的方程为：x-y+2=0．
（III）显然A，B两点均在圆x²+y²=4上，
当过C的直线和直线AB平行，且为圆的切线，则C到直线AB的距离d最大．
由于O到直线AB：y=x+2的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有d=2+$\sqrt{2}$，
故△ABC的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×（2$+\sqrt{2}$）×2$\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式和角平分线的性质和距离最大问题，考查运算求解能力，属于中档题．