Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=$\sqrt{3}$，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围求出角C；
（2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）∵cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB，
∴$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A$$-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2B$，
则cos2A-cos2B=$\sqrt{3}$（sin2A-sin2B），
即$\sqrt{3}$sin2B-cos2B=$\sqrt{3}$sin2A-cos2A，
∴sin（$2B-\frac{π}{6}$）=sin（$2A-\frac{π}{6}$）
∵a≠b，且A、B∈（0，π），
∴A≠B，则$2A-\frac{π}{6}$≠$2B-\frac{π}{6}$，
∴$2A-\frac{π}{6}+（2B-\frac{π}{6}）=π$，解得A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{3}$；         
（2）由（1）知，C=$\frac{π}{3}$，且c=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
则3=a²+b²-ab，即a²+b²=ab+3≥2ab，
解得ab≤3，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故△ABC的面积的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题．