Question

13．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面ABC为直角三角形，$∠BAC=\frac{π}{2}$，AB=AC=AA₁=1．已知G与E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，求线段DF的长度的最小值．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，可得F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），G（$\frac{1}{2}$，0，1），D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．可得$\overrightarrow{EF}$=（t₁，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{GD}$=（-$\frac{1}{2}$，t₂，-1），利用GD⊥EF，由此推出 0＜t₂＜$\frac{1}{2}$．再利用向量的模的计算公式和二次函数的单调性即可得出．

解答 解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
则F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），G（$\frac{1}{2}$，0，1），D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．
∴$\overrightarrow{EF}$=（t₁，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{GD}$=（-$\frac{1}{2}$，t₂，-1）．
∵GD⊥EF，∴t₁+2t₂=1，由此推出 0＜t₂＜$\frac{1}{2}$．
又$\overrightarrow{DF}$=（t₁，-t₂，0），
∴|$\overrightarrow{DF}$|=$\sqrt{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{5（{t}_{2}-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，
∴当t₂=$\frac{2}{5}$时，线段DF的长度的最小值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量的运算及模的计算公式和二次函数的单调性解决问题，考查了推理能力和空间想象能力、计算能力，属于难题．