Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}\;，\;x≥0\\{x^2}+2x，\;x＜0\end{array}$，则f（f（-2））=0；不等式f（f（x））≤3的解集为（-∞，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式进行求解即可．

解答 解：由分段函数得f（-2）=4-4=0，则f（f（-2））=f（0）=-0=0，
 设t=f（x），
则不等式f（f（x））≤3等价为f（t）≤3，
由图象知t≥-3，
即f（x）≥-3，
若x≥0，由-x²≥-3得x²≤3，解得0≤x≤$\sqrt{3}$，
若x＜0，2x+x²≥3，得x²+2x-3≥0，
解得x≥1或x≤-3，此时x＜0，
综上x≤$\sqrt{3}$，
即不等式的解集为（-∞，$\sqrt{3}$]，
故答案为：0；$（-∞，\sqrt{3}]$

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用换元法是解决本题的关键．