Question

11．已知函数$f（x）=ln（x+a）+\frac{2}{x}$，g（x）=lnx．（注：${[{ln（x+a）}]^′}=\frac{1}{x+a}$）
（1）a=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知f（x）在[e，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）已知m，n，ξ满足n＞ξ＞m＞0，且$g'（ξ）=\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$，试比较ξ与$\sqrt{mn}$的大小．

Answer 1

分析 （1）对f（x）求导，利用导数求得f（x）的单调区间
（2）对f（x）求导，分离参数a，利用导数的性质求得a的取值范围
（3）构造新函数，利用新函数的导数证明命题成立．

解答 解：（1）a=0，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，f'（x）=$\frac{1}{x}-\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{x-2}{{x}^{2}}$，f'（x）=0，x=2．
∵x＞0，∴f（x）的单调增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）．且x=2时f（x）取得极小值f（2）=ln2+1
（2）∵$f（x）=ln（{x+a}）+\frac{2}{x}$∴$f'（x）=\frac{1}{x+a}-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}-2x-2a}}{{{x^2}（{x+a}）}}$，∵f（x）在[e，+∞）上单调∴$\left\{\begin{array}{l}x+a＞0\\{x^2}-2x-2a≥0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x+a＞0\\{x^2}-2x-2a≤0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}a＞-e\\ a≤\frac{1}{2}{x^2}-x\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＞-e\\ a≥\frac{1}{2}{x^2}-x\end{array}\right.$∵当x≥e时，$\frac{1}{2}{x^2}-x≥\frac{1}{2}{e^2}-e$
∴$-e＜a≤\frac{1}{2}{e^2}-e$…8分
（2）∵$g'（ξ）=\frac{g（n）-g（m）}{n-m}$∴$\frac{1}{ξ}=\frac{lnn-lnm}{n-m}$
设$h（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}（{x＞1}）$，则$h'（x）=\frac{2}{x}-1-\frac{1}{x^2}=-\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}＜0$
∴h（x）＜h（1）=0，∴当x＞1时，$2lnx＜x-\frac{1}{x}$
令$x=\sqrt{\frac{n}{m}}$，得$2ln\sqrt{\frac{n}{m}}＜\sqrt{\frac{n}{m}}-\sqrt{\frac{m}{n}}$∴$lnn-lnm＜\frac{n-m}{{\sqrt{mn}}}$⇒$\frac{lnn-lnm}{n-m}＜\frac{1}{{\sqrt{mn}}}$∴$\frac{1}{ξ}＜\frac{1}{{\sqrt{mn}}}$即$ξ＞\sqrt{mn}$…14分．

点评 本题主要考查导数在求得参数的取值范围的应用，属于中档题，在高考中常作压轴题出现．