Question

1．已知a＞0，若不等式log_a+3x-log_a+1x+5≤n+$\frac{6}{n}$对任意n∈N^*恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （0，1]
• C． [3，+∞）
• D． [1，3]

Answer 1

分析 利用基本不等式求出n+$\frac{6}{n}$的最小值，然后利用函数的性质求出x的范围即可．

解答 解：∵n∈N^*，∴n+$\frac{6}{n}$≥2$\sqrt{6}$，当n=$\sqrt{6}$时取等号，∴n=2或3，
当n=2时，n+$\frac{6}{n}$=5，
当n=3时，n+$\frac{6}{n}$=5，∴n+$\frac{6}{n}$≥5，
由题意可知，log_a+3x-log_a+1x+5≤5，
∴log_a+3x≤log_a+1x，
又a＞0，∴a+3＞a+1＞1，
则x≥1．
∴实数x的取值范围是[1，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查函数的最值，基本不等式的应用，考查对数的运算性质，是中档题．