Question

9．如图，在几何体ABCDN中，CD⊥平面ABC，DC∥AN，CD=2AN=4，又AB=AC=BC=2，点P是BD上的动点（与B、D两点不重合）．
（1）若P为BD的中点，求证：AP⊥BC；
（2）若二面角B-PC-A的余弦值为$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，求直线PN与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E，连结AE、AM、MC，利用中位线定理及线面平面的判定定理即得结论；
（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，通过点p是BD上的动点，可得t$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BP}$，则P（1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t），0＜t＜1，
利用图形判断$\overrightarrow{AE}$=（$-\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）为面BCP的向量，面ACP的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，4，$\frac{\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}$），根据|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{AE}$＞|=|$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}×（\frac{\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}）^{2}}$|=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
求解t=$\frac{1}{2}$，确定$\overrightarrow{NP}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），p（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），面ABD的法向量为；$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），利用向量的数量积sinα=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{2}}$，$\overrightarrow{NP}$＞|求解即可．

解答 证明：（1）（1）证明：取BC的中点E，连结AE、AP、PC，
∵CD⊥平面ABC，DC∥AN，
∴AN⊥平面ABC，∴AN⊥BC，
又∵P为BD的中点，
∴PE∥CD∥AN，即PE⊥BC，
∵AB=AC=BC，E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∴BC⊥平面AEP，
∴AP⊥BC；
（II）解：以C为原点，建立空间直角坐标系如图，
∵CD=2AN=4，又AB=AC=BC=2，
∴C（0，0，0），A（2，0，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），
D（0，0，4），N（2，0，2），
则$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，4），
设t$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BP}$，则P（1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t），0＜t＜1
∴$\overrightarrow{NP}$=（-1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t-2），$\overrightarrow{CP}$=（1-t，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，4t）

B，D中点为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），在面ABC的射影E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（$-\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）为面BCP的向量，
面ACP的法向量为；$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}=0}\\{（1-t）{x}_{1}+（\sqrt{3}-\sqrt{3}t）{y}_{{\;}_{1}}+4t{z}_{1}=0}\end{array}\right.$得出$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，4，$\frac{\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}$），
∵|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{AE}$＞|=|$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}×（\frac{\sqrt{3}t-\sqrt{3}}{t}）^{2}}$|=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，t=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{NP}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），p（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），
设面ABD的法向量为；$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，4），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}+\sqrt{3}{y}_{2}=0}\\{-{x}_{2}-\sqrt{3}{y}_{2}+4{z}_{2}=0}\end{array}\right.$得出$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{NP}$$•\overrightarrow{{n}_{2}}$=-$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{{n}_{2}}$|=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，|$\overrightarrow{NP}$|=$\sqrt{3}$，
∵cos＜$\overrightarrow{{n}_{2}}$，$\overrightarrow{NP}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{19}}{2}}$=$-\frac{2\sqrt{19}}{19}$
∴直线PN与平面ABD所成角的正弦值：sinα=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{2}}$，$\overrightarrow{NP}$＞|=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$

点评 本题考查线面垂直的判定定理，二面角的计算，数量积的运算，平方关系，注意解题方法的积累，属于难题，多次力平面的法向量求解问题，准确计算是解题的关键．