Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若|AB|=$\frac{4}{3}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题目条件可列式求得椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=k（x+$\sqrt{2}$），代入椭圆方程，由弦长公式得到所需结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$则$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a=\sqrt{2}}\end{array}\right.$得椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（Ⅱ）由题意直线得斜率存在，因为左顶点为（-$\sqrt{2}，0$）
设直线l的方程为：y=k（x+$\sqrt{2}$）
代入椭圆方程得：$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4\sqrt{2}{k}^{2}x+4{k}^{2}-2=0$
因为一根为${x}_{1}=-\sqrt{2}$，则另一根为${x}_{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{2}{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$
则AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{2\sqrt{2}}{2{k}^{2}+1}=\frac{4}{3}$
化简得8k²-k-7=0，即k²=1，k=±1，则倾斜角为45°或135°．

点评 本题主要考查了圆锥曲线方程的求法和圆锥曲线与直线的综合应用，属于中档题，在高考中时常涉及．