Question

7．如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=θ，AD是边BC上的高，当θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值与最小值之差为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通过向量的运算法则及三角函数的定义可得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=4sin²θ，利用θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，计算即得结论．

解答 解：易知$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$）=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BA}$，
∵AD是边BC上的高，∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$，
又∵AB=2，∠ABC=θ，△ABD为直角三角形，
∴AD=ABsinθ=2sinθ，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$2sinθ×2×cos（\frac{π}{2}-θ）$
=4sinθ•sinθ
=4sin²θ，
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴sinθ∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴4sin²θ∈[1，3]，即$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值与最小值分别为3与1，
故选：B．

点评 本题以三角形为载体，考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．