Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）的最大值为2．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理可得B=$\frac{3π}{4}$-A，0＜A＜$\frac{3π}{4}$，进而由三角函数公式可得$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$），可得最值．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，
∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∵sinA≠0，
∴sinC=cosC，∴C=$\frac{π}{4}$，∴B=$\frac{3π}{4}$-A，0＜A＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sinA-cos（$\frac{3π}{4}$-A+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{3}$sinA+cosA=2sin（A+$\frac{π}{6}$），
∴当A=$\frac{π}{3}$时，上式取到最大值2
故答案为：2

点评 本题考查三角函数的最值，涉及正弦定理和三角函数公式，属基础题．