Question

6．一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分布列．
（1）每次取出的产品不再放回去；
（2）每次取出的产品仍放回去；
（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中．

Answer 1

分析 （1）ξ可能取的值有1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列．
（2）根据每次取出的产品仍放回去，下次取时和前一次情况完全相同，得到ξ可能取的值是1，2，3，…k，…，得到相应取值的概率，写出分布列．
（3）ξ可能取的值有1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列．

解答 解：（1）ξ的所有可能值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{7}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{10}$×$\frac{7}{9}$=$\frac{7}{30}$，
P（ξ=3）=$\frac{3}{10}$×$\frac{2}{9}$×$\frac{7}{8}$=$\frac{7}{120}$，
P（ξ=4）=$\frac{3}{10}$×$\frac{2}{9}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{120}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{7}{10}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{7}{120}$	$\frac{1}{120}$

（2）由于每次取出的产品仍放回去，下次取时和前一次情况完全相同，所以，
ξ可能取的值是1，2，3，…k，…，相应取值的概率为：
P（ξ=1）=$\frac{7}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{10}$•$\frac{7}{10}$=$\frac{21}{100}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{10}$•$\frac{3}{10}$•$\frac{7}{10}$=$\frac{63}{1000}$，┅，
P（ξ=k）=（ $\frac{3}{10}$）k-1•$\frac{7}{10}$．
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	┅	k	┅
P	$\frac{7}{10}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{63}{100}$	┅	（ $\frac{3}{10}$）k-1•$\frac{7}{10}$	┅

（3）ξ可能取的值有1，2，3，4．取这些值时的概率分别为：
P（ξ=1）=$\frac{7}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{10}$•$\frac{8}{10}$=$\frac{6}{25}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{10}$•$\frac{2}{10}$•$\frac{9}{10}$=$\frac{27}{500}$，P（ξ=4）=$\frac{3}{10}$•$\frac{2}{10}$•$\frac{1}{10}$•$\frac{10}{10}$=$\frac{3}{500}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{7}{10}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{27}{500}$	$\frac{3}{500}$

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，本题解题的关键是列举本题所包含的两个不同的条件，放回抽样和不放回抽样，注意对题目比较分析．