Question

18．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较2S_n与1的大小．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，利用等差数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，可得：a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”与“放缩法”即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$．
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，首项为1，公差为2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∴2S_n=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1，
即2S_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的定义、“裂项求和”与“放缩法”，考查了推力能力与计算能力，属于中档题．