Question

10．在离心率为e的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，右焦点F（c，0），A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），过F的直线交椭圆于M、N两点，过A与直线MN平行的直线交椭圆于B、C两点，求证：|$\overrightarrow{FM}$|•|$\overrightarrow{FN}$|=e²|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|．

Answer 1

分析 设F（c，0）的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=c+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程，运用韦达定理，注意参数的几何意义，可将上面中的c换成$\frac{{a}^{2}}{c}$，化简整理结合离心率公式，即可得证．

解答 证明：设F（c，0）的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=c+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆方程可得，（b²cos²α+a²sin²α）t²+2b²ctcosα+b²c²-b²a²=0，
则t₁t₂=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$=-$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$，
即有|$\overrightarrow{FM}$|•|$\overrightarrow{FN}$|=$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$，
由于过A与直线MN平行的直线交椭圆于B、C两点，
可将上面中的c换成$\frac{{a}^{2}}{c}$，即有
|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{{b}^{2}•\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$•（-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$•$\frac{{b}^{4}}{{b}^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α}$，
故有|$\overrightarrow{FM}$|•|$\overrightarrow{FN}$|=e²|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立直线的参数方程和椭圆方程，运用韦达定理和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．