Question

20．已知⊙C的极坐标方程为：ρ²-4$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）+6=0$
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的圆心坐标，并选择合适的参数，写出圆C的参数方程；
（Ⅱ）点P（x，y）在圆C上，试求u=xy的值域．

Answer 1

分析 取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的x轴，：ρ²-4$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）+6=0$展开化为ρ²-4ρsinθ-4ρcosθ+6=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．再利用圆的参数方程与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的x轴，：ρ²-4$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）+6=0$展开化为ρ²-4ρsinθ-4ρcosθ+6=0，可得：x²+y²-4x-4y+6=0，∴（x-2）²+（y-2）²=2，圆C的圆心坐标为（2，2），半径为$\sqrt{2}$，
（2）取旋转角α为参数，则圆C的参数方程为C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2}cosα\\ y=2+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α为参变数）$，
∵$u=x•y=（2+\sqrt{2}cosα）（2+\sqrt{2}sinα）=4+2\sqrt{2}（sinα+cosα）+2sinαcosα$，
设$t=sinα+cosα=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）⇒\left\{\begin{array}{l}2sinαcosα={t^2}-1\\-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴u=f（t）=$2\sqrt{2}t+{t}^{2}$-1+4=$（t+\sqrt{2}）^{2}$+1$（-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}）$．
∴1≤u≤9．
∴u的值域为[1，9]．

点评 本题考查了参数方程的应用、极坐标化为直角坐标方程、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．