Question

12．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}≤1\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域为M，不等式组$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤t\\ 0≤y≤\sqrt{1-{t^2}}\end{array}\right.$表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{π}$
• B． $\frac{1}{π}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{1}{2π}$

Answer 1

分析 分别求出区域M，N表示区域的面积，路几何概型公式求之．

解答 解：集合M表示圆心为原点，半径为1的位于x轴上方的半圆，面积为$\frac{π}{2}$，而集合N表示集合M上位于第一象限内的点作两坐标轴的平行线所围成的矩形的面积，即$S=t\sqrt{1-{t^2}}=\sqrt{{t^2}（1-{t^2}）}$，当${t^2}=\frac{1}{2}$，即$t=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，N的面积最大，最大值为$\frac{1}{2}$，故点在N内的概率的最大值为$P=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{π}{2}}}=\frac{1}{π}$．
故选B．

点评 本题考查了几何概型公式的运用；关键是分别求出区域M，N的面积，公式解答．