Question

17．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数$A=\overline{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}}$，其中A的各位数字中a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为$\frac{1}{3}$，a_k（k=2，3，4，5）出现1的概率为$\frac{2}{3}$，记X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅．当启动仪器一次时，
（Ⅰ）求X=3的概率；
（Ⅱ）求随机变量X的分布列及X的数学期望，并指出当X为何值时，其概率最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出X=3时的概率即可；
（Ⅱ）由题意可知X可取的值为1，2，3，4，5，分别求出相对应的概率，求出分布列，进而求出其期望值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$P（X=3）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}（\frac{2}{3}）=\frac{8}{27}$；
（Ⅱ）由题意可知X可取的值为1，2，3，4，5，
它们的概率为：$P（X=1）=C_4^0{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{81}$，$P（X=2）=C_4^1（\frac{2}{3}）{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{8}{81}$，
$P（X=3）=C_4^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{24}{81}$，$P（X=4）=C_4^3{（\frac{2}{3}）^3}（\frac{1}{3}）=\frac{32}{81}$，
$P（X=5）=C_4^4{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，
故其分布列为

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴$E（X）=\frac{1}{81}（1+16+72+128+80）=\frac{11}{3}$，
当X=4时，其概率最大．

点评 本题考察了离散型随机变量，考察分布列及方差，是一道中档题．