Question

14．若函数f（x）=ax²+bx+c的值域为[0，+∞），且f（-x）=f（x），x∈R，存在两条都经过点P（1，-2）且互相垂直的直线l₁，l₂与函数f（x）的图象都没有公共点，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 留言函数的奇偶性求出b，然后判断l₁斜率存在，且不为0．设l₁的斜率为k，则l₁的斜率为-$\frac{1}{k}$，则l₁的方程为y+2=k（x-1），l₂的方程为y+2=-$\frac{1}{k}$（x-1）．若直线l₁和l₂，它们与二次函数y=ax²（a＞0）的图象都没有公共点，则他们的方程与抛物线方程联立所得的方程无解，进而得到满足条件的a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax²+bx+c的值域为[0，+∞），且f（-x）=f（x），x∈R，
可得b=0，c=0；a＞0，
二次函数化为y=ax²（a＞0）
易知l₁斜率存在，且不为0．设l₁的斜率为k，则l₁的斜率为-$\frac{1}{k}$，
则l₁的方程为y+2=k（x-1），l₂的方程为y+2=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y={ax}^{2}\\ y+2=k（x-1）\end{array}\right.$得，ax²-kx+k+2=0．
由l₁与二次函数y=ax²（a＞0）的图象没有公共点知，△₁=k²-4a（k+2）＜0…①．
同理，由l₂与二次函数y=ax²（a＞0）的图象没有公共点知，△₂=（-$\frac{1}{k}$）²-4a（-$\frac{1}{k}$+2）＜0…②．
由①得2a-2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$＜k＜2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$；
由②得k＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，或k＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$．
依题意，方程组①②有解．
∵若方程组①②无解?2a-2$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$≥$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$且2a+2$\sqrt{{a}^{2}+2a}$≤$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+2a}}{4a}$，即0＜a≤$\frac{1}{8}$．
∴方程组①②有解⇒a＞$\frac{1}{8}$．
故a的取值范围为（$\frac{1}{8}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{1}{8}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，二次函数的最值，二次函数的性质，其中将直线与抛物线没有交点，转化为联立所得的方程组无解，是解答的关键．