Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，点（a_n+1，S_n）（n∈N^*）恒在直线x-y-1=0上，数列{b_n}是等差数列，且b₃=2，b₆=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对?n∈N^*，（S_n+1）•k≥b_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过点（a_n+1，S_n）（n∈N^*）恒在直线x-y-1=0上，可得S_n=a_n+1-1，利用a_n+1=S_n+1-S_n，计算即得结论；
（2）设数列{b_n}的公差为d，利用d=$\frac{{b}_{6}-{b}_{3}}{3}$，计算可得b_n=2n-4，条件等价于“对?n∈N^*，k≥$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$恒成立”，通过判断c_n=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$的单调性即得结论．

解答 解：（1）∵点（a_n+1，S_n）（n∈N^*）恒在直线x-y-1=0上，
∴a_n+1-S_n-1=0，即S_n=a_n+1-1，S_n+1=a_n+2-1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=a_n+2-a_n+1，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2，
又∵a₁=1，a₂=a₁+1=2，
∴数列{a_n}的通项为：a_n=2^n-1；
（2）设数列{b_n}的公差为d，
∵b₃=2，b₆=8，
∴d=$\frac{{b}_{6}-{b}_{3}}{3}$=$\frac{8-2}{3}$=2，b₁=b₃-2d=2-2×2=-2，
∴数列{b_n}的通项为：b_n=-2+2（n-1）=2n-4，
又由（1）知S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴“对?n∈N^*，（S_n+1）•k≥b_n恒成立”等价于“对?n∈N^*，2ⁿ•k≥2n-4恒成立”，
即k≥$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$恒成立，记c_n=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
则c_n+1-c_n=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{-n+3}{{2}^{n}}$，
∴当n≤3时，c_n+1≥c_n；当n≥4时，c_n+1＜c_n；
∴（c_n）_max=c₄=$\frac{4-2}{{2}^{4-1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴实数k的取值范围为：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．