Question

5．在直角坐标系xoy中，点P到两点F（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）的距离之和等于4，设P点的轨迹为曲线C，过点M（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）易知曲线C为椭圆，由定义可知c=$\sqrt{3}$，a=2，从而有b²=1；继而求得椭圆方程
（2）分情况讨论：斜率为0及斜率不存在时易求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆，利用韦达定理及向量数量积运算可表示为m的表达式，利用函数性质可求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范围；

解答 解：（1）由题意知曲线C为以F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）为焦点的椭圆，
且c=$\sqrt{3}$，a=2，∴b²=1，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）1°当l的斜率为0时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4…（6分）
2°当l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时A点、B点坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
故$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1×1+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=\frac{1}{4}$…（8分）
3°当l的斜率存在且不为0时，设l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（m²+4）y²+2my-3=0∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=$（{m}^{2}+1）\frac{-3}{{m}^{2}+4}+\frac{-2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+1$
=$\frac{-3{m}^{2}-3-2{m}^{2}+{m}^{2}+4}{{m}^{2}+4}$=$\frac{-4{m}^{2}+1}{{m}^{2}+1}=\frac{-4（{m}^{2}+4）+17}{{m}^{2}+4}$
=-4+$\frac{17}{{m}^{2}+4}∈（-4，\frac{1}{4}）$ …（11分）
综上可知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围为[-4，$\frac{1}{4}$]…（12分）

点评 本题考查椭圆的定义、方程、性质，考查直线与椭圆的位置关系、向量数量积运算，考查运算求解能力，熟练运用韦达定理是及解决相关问题的基础．