Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点F₁坐标为$（{-2\sqrt{2}，0}）$，且椭圆C的短轴长为4，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边的等腰三角形，顶点为P（-3，2）
（1）求椭圆C的方程
（2）求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）通过左焦点坐标可得$c=2\sqrt{2}$，通过椭圆C的短轴长为4可得b=2，进而可得结论；
（2）通过设直线l的方程为y=x+m，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可用m表示出|AB|、|PE|，利用PA=PB，E为AB的中点可得PE⊥AB，即可解得m=2，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵左焦点F₁坐标为$（{-2\sqrt{2}，0}）$，∴$c=2\sqrt{2}$，
∵椭圆C的短轴长为4，∴2b=4，即b=2，
∴a²=b²+c²=12，
∴椭圆C方程为：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设直线l的方程为：y=x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，消去y整理得：4x²+6mx+3m²-12=0，
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3m}{4}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{4}$，${y_0}={x_0}+m=\frac{m}{4}$，
又PA=PB，E为AB的中点，∴PE⊥AB，
∴${k_{PE}}=\frac{{2-\frac{m}{4}}}{{-3+\frac{3m}{4}}}=-1$，解得m=2，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=3\sqrt{2}$，
$|{PE}|=\sqrt{{{（-3+\frac{3}{2}）}^2}+{{（2-\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴△PAB的面积$S=\frac{1}{2}|{AB}|•|{PE}|=\frac{9}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．