Question

4．已知函数f（x）=x²-2ax+a²-1，若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则f[f（x）]＜0的解集是（0，2-$\sqrt{2}$）∪（2+$\sqrt{2}$，4）．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式的解和对应的一元二次方程实数根的关系即可求得a=2，从而得到f（x）=x²-4x+3，令t=x²-4x+3，从而f（t）＜0的解为1＜t＜3，从而得到1＜x²-4x+3＜3，解该一元二次不等式即得不等式f[f（x）]＜0的解集．

解答 解：根据题意，x=1，3是方程x²-2ax+a²-1=0的两个实根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+3=2a}\\{1•3={a}^{2}-1}\end{array}\right.$；
解得，a=2；
f（x）=x²-4x+3；
令f（x）=t，由f[f（x）]＜0得f（t）＜0；
根据已知，1＜t＜3；
∴1＜x²-4x+3＜3；
解得，0$＜x＜2-\sqrt{2}$，或$2+\sqrt{2}＜x＜4$；
∴f[f（x）]＜0的解集为（0，2-$\sqrt{2}$）∪（2+$\sqrt{2}$，4）．
故答案为：$（0，2-\sqrt{2}）∪（2+\sqrt{2}，4）$．

点评 考查一元二次不等式的解和对应的一元二次方程实数根的关系，韦达定理，换元法解不等式，解一元二次不等式．