Question

6．已知数列{a_n}满足a₀=0，a_n=$\frac{1}{{2-{a_{n-1}}}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：0≤a_n＜a_n+1＜1（n∈N）；
（Ⅱ）在数列{a_n}中任意取定一项a_k，构造数列{b_n}，满足b₀=a_k，b_n=$\frac{{2{b_{n-1}}-1}}{{{b_{n-1}}}}$（n∈N^*），问：数列{b_n}是有穷数列还是无穷数列？并证明你的结论；
（Ⅲ）令c_n=1-a_n（n∈N），求证：c${\;}_{1}^{\frac{3}{2}}$+c${\;}_{2}^{\frac{3}{2}}$+…+c${\;}_{n}^{\frac{3}{2}}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）运用数学归纳法推理论证，
（II）根据递推关系式得出b_n=$\frac{{2{b_{n-1}}-1}}{{{b_{n-1}}}}$=2-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$，（n∈N^*），a_n-1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，判断得出b₁=$2-\frac{1}{{b}_{1}}$═2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=a_k-1，…b_k=2-$\frac{1}{{b}_{k-1}}$=2$-\frac{1}{{a}_{1}}$=0，可以解决问题．
（III）c_n=$\frac{1}{n+1}$推证∴（$\frac{1}{n+1}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{（n+1）^{3}}}$$＜\frac{1}{\sqrt{n（n+1）（n+2）}}$放缩得出（$\frac{1}{n+1}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$列出和即可证明．

解答 证明（I）（1）当n=0时，a₁=$\frac{1}{2}$，0≤a₀＜a₁＜1，
（2）假设n=k（k≥0，k∈N）时，a_k＜a_k+1＜1，
则n=k+1时，令f（x）=$\frac{1}{2-x}$，f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（a_i）＜f（a_i+1）＜f（1），即a_k+1＜a_k+2＜1，
∴n=k+1时命题成立，
综上原命题成立，
（II）∵b_n=$\frac{{2{b_{n-1}}-1}}{{{b_{n-1}}}}$=2-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$，（n∈N^*），a_n-1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$
∴b₁=$2-\frac{1}{{b}_{1}}$═2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=a_k-1，…b_k=2-$\frac{1}{{b}_{k-1}}$=2$-\frac{1}{{a}_{1}}$=0，
∴数列{b_n}没有第k+1项及后继项，即数列{b_n}是有穷数列．
（III）∵a_n=$\frac{1}{{2-{a_{n-1}}}}$（n∈N^*）．∴$\frac{1}{{c}_{n}}$$-\frac{1}{{c}_{n-1}}$=1，
∴c_n=$\frac{1}{n+1}$
∴（$\frac{1}{n+1}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{（n+1）^{3}}}$$＜\frac{1}{\sqrt{n（n+1）（n+2）}}$=（$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$）$•\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$•\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}$＜（$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$）$•\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$•\sqrt{\frac{n+2+n}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$
∴c${\;}_{1}^{\frac{3}{2}}$+c${\;}_{2}^{\frac{3}{2}}$+…+c${\;}_{n}^{\frac{3}{2}}$＜1-$\frac{1}{\sqrt{3}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}}$$-\frac{1}{\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$=1$+\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n∈N^*）．

点评 本题综合考查了数列与函数不等式的综合运用，递推关系式的理解运用，放缩法证明不等式，考查了学生的推理论证能力，整体把握问题的能力，难度较大，属于难题．